Question

若n为正奇数，则7n+

C

1 n

•7n-1+…+

C

n-1 n

•7被9除所得的余数为：

7

．

Answer 1

分析：把所给的式子化为 8ⁿ-1，展开得 9ⁿ+（-1）¹•

C

1 n

9n-1+…+（-1）^n-1

C

n-1 n

9+（-1）ⁿ-1，分析结构特征可得式子被9除所得的余数．

解答：解：∵7n+

C

1 n

•7n-1+…+

C

n-1 n

•7=7n+

C

1 n

•7n-1+…+

C

n-1 n

•7+1-1=（7+1）ⁿ-1=8ⁿ-1
=（9-1）ⁿ-1=9ⁿ+（-1）¹•

C

1 n

9n-1+…+（-1）^n-1

C

n-1 n

9+（-1）ⁿ-1．
显然，式子中，除了最后两项（-1）ⁿ-1以外，其余的各项都能被9整除．
而由n为正奇数可得 （-1）ⁿ-1=-2，
故所给的式子被9除所得的余数为7，
故答案为 7．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，把所给的式子化为 9ⁿ+（-1）¹•

C

1 n

9n-1+…+（-1）^n-1

C

n-1 n

9+（-1）ⁿ-1，是解题的关键，属于中档题．