Question

已知函数f(x)=

1

3

ax3+(a+d)x2+(a+2d)x+d，g（x）=ax²+2（a+2d）x+a+4d，其中a＞0，d＞0，设x₀为f（x）的极小值点，x₁为g（x）的极值点，g（x₂）=g（x₃）=0，并且x₂＜x₃，将点（x₀，f（x₀）），（x₁，g（x₁），（x₂，0）（x₃，0）依次记为A，B，C，D．
（1）求x₀的值；
（2）若四边形ABCD为梯形且面积为1，求a，d的值．

Answer 1

分析：（1）先对函数f（x）进行求导，讨论满足f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极小值，求出x₀的值；
（2）讨论满足g′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极小值，求出x₁的值，再根据x₂，x₃是g（x）=0的两个根求出x₂，x₃，然后分别求出A，B，C，D四个点的坐标，由四边形ABCD是梯形及BC与AD不平行，得AB∥CD，以及四边形ABCD为梯形且面积为1建立两个等量关系即可求得a，d的值．

解答：解：（1）f′（x）=ax²+2（a+d）x+a+2d=（x+1）（ax+a+2d），
令f′（x）=0，
由a≠0得x=-1或x=-1-

2d

a

∵a＞0，d＞0．
∴-1-

2d

a

＜-1
当-1-

2d

a

＜x＜-1时，f′（x）＜0，
当x＞-1时f′（x）＞0，
所以f（x）在x=-1处取极小值，即x₀=-1
（2）解：g（x）=ax²+（2a+4d）x+a+4d
∵a＞0，x∈R
∴g（x）在x=-

2a+4d

2a

=-1-

2d

a

处取得极小值，即x1=-1-

2d

a

，
由g（x）=0，即（ax+a+4d）（x+1）=0，
∵a＞0，d＞0，x₂＜x₃，
∴x3=-1，x2=-1-

4d

a

，
∵f(x0)=f(-1)=-

1

3

a
g(x1)=g(-1-

2d

a

)=-

4d2

a

∴A(-1，-

1

3

a)，B(-1-

2d

a

，-

4d2

a

)，C(-1-

4d

a

，0)，D（-1，0）
由四边形ABCD是梯形及BC与AD不平行，得AB∥CD．
-

a

3

=-

4d2

a

即a²=12d²
由四边形ABCD的面积为1，得

1

2

(|AB|+|CD|)•|AD|=1
即

1

2

(

4d

a

+

2d

a

)•

a

3

=1得d=1，
从而a²=12得a=2

3

，d=1

点评：本小题考查多项式函数的导数，函数极值的判定，二次函数与二次方程等基础知识的综合运用，考查用数形结合的数学思想分析问题，解决问题的能力．