Question

正三棱柱ABC－A₁B₁C₁的侧面三条对角线AB₁、BC₁、CA₁中，AB₁⊥BC₁．求证：AB₁⊥CA₁．

Answer 1

答案：
解析：

解析：方法1　如图，延长B1C1到D，使C1D＝B1C1．连CD、A1D．因AB1⊥BC1，故AB1⊥CD；又B1C1＝A1C1＝C1D，故∠B1A1D＝90°，于是DA1⊥平面AA1B1B．故AB1⊥平面A1CD，因此AB1⊥A1C． 　　方法2：如图，取A1B1、AB的中点D1、P．连CP、C1D1、A1P、D1B，易证C1D1⊥平面AA1B1B．由三垂线定理可得AB1⊥BD1，从而AB1⊥A1D．再由三垂线定理的逆定理即得AB1⊥A1C． 　　说明：证明本题的关键是作辅助面和辅助线，证明线面垂直常采用下列方法： 　　(1)利用线面垂直的定义； 　　(2)证明直线垂直于平面内的两条相交直线； 　　(3)证明直线平行于平面的垂线； 　　(4)证明直线垂直于与这平面平行的另一平面．