Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx-1，且不等式|f（x）|≤2|2x²-1|的实数x恒成立，数列{a_n}满足a₁=1，an+1=f(

an+1

)(n∈N*)．
（1）求a，b的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）求证

a1

a2

+

a2

a3

+…+

an

an+1

＞

n

2

-

11

35

(n∈N*)．

Answer 1

分析：（1）由不等式|f（x）|≤2|2x²-1|的实数x恒成立，由x=±

2

2

时，2|2x²-1|=0，结合绝对值的非负性，可得f（

2

2

）=f（-

2

2

）=0，由此构造方程可求出a，b的值；
（2）由f（x）=2x²+1，可得a_n+1=2a_n+1，进而可得数列{a_n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，求出数列{a_n+1}的通项公式后，可得数列{a_n}的通项公式；
（3）由

ak

ak+1

=

2k-1

2k+1-1

≥

1

2

-

1

15

•

1

2k-2

（k≥3），利用放缩法，可证得

a1

a2

+

a2

a3

+…+

an

an+1

＞

n

2

-

11

35

(n∈N*)．

解答：解：（1）∵不等式|f（x）|≤2|2x²-1|对任意的实数x恒成立．且当x=±

2

2

时，2|2x²-1|=0
∴|f（

2

2

）|≤0，且|f（-

2

2

）|≤0，
即f（

2

2

）=f（-

2

2

）=0
即

1 2 a+ 2 2 b-1=0 1 2 a- 2 2 b-1=0

，
解得：a=2，b=0；
（2）由 （1）知f（x）=2x²+1，
∴an+1=f(

an+1

)=2a_n+1，
a_n+1+1=2（a_n+1）
又a₁=1，
∴数列{a_n+1}是以a₁+1=2为首项，2为公比的等比数列．
∴a_n+1=2ⁿ，
从而数列{a_n}的通项公式a_n=2ⁿ-1；
（3）由 （2）知a_n=2ⁿ-1，
∴

ak

ak+1

=

2k-1

2k+1-1

=

1

2

-

1

2(2K+1-1)

=

1

2

-

1

15•2k-2+(2k-2-2)

≥

1

2

-

1

15

•

1

2k-2

（k≥3）
∴

a1

a2

+

a2

a3

+…+

an

an+1

≥

1

3

+

3

7

+

n-2

2

-

1

15

•（

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-2

）=

n

2

-

5

21

-

1

15

•（1-

1

2n-2

）＞

n

2

-

5

21

-

1

15

=

n

2

-

32

105

＞

n

2

-

11

35

综上有

a1

a2

+

a2

a3

+…+

an

an+1

＞

n

2

-

11

35

(n∈N*)．

点评：本题考查的知识点是数列与函数的综合应用，数列与不等式的综合应用，求数列的通项公式，其中（1）的关键是得到f（

2

2

）=f（-

2

2

）=0，（2）的关键是得到数列{a_n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，（3）的关键是利用放缩法对不等式进行变形．