Question

lim

n→∞

1

n2

(1+

3

2

+2+…+

n+1

2

)=

1

4

．

Answer 1

分析：首先，根据等差数列求和公式得括号里面的式子：1+

3

2

+2+…+

n+1

2

=

1

2

•n•(1+

n+1

2

)=

n(n+3)

4

，然后将其代入得原式等于：

lim

n→∞

(

1

n2

•

n2+3n

4

)=

lim

n→∞

n+3

4n

，
最后用极限的运算法则，即可得出答案．

解答：解：根据等差数列求和公式，得
1+

3

2

+2+…+

n+1

2

=

1

2

•n•(1+

n+1

2

)=

n(n+3)

4

∴

lim

n→∞

1

n2

(1+

3

2

+2+…+

n+1

2

)=

lim

n→∞

(

1

n2

•

n2+3n

4

)=

lim

n→∞

n+3

4n

=

1

4

故答案为：

1

4

点评：本题以分式为载体，考查了数列的极限的求法，属于中档题．运等差数列的有关公式，结合极限的四则运算法则是解决本题的关键．