题目内容

判断f（x）=
1+sinx-cosx1+sinx+cosx
的奇偶性．
分析：通过举反例，x=
π
2
在定义域内，x=-
π
2
不在定义域内，定义域关于原点不对称，故得到结论 f（x）是非奇非偶函数．
解答：解：∵f（x）=
1+sinx-cosx
1+sinx+cosx
，∴sinx+cosx≠-1，
故当x=
π
2
，f（x）有意义，当x=-
π
2
时，f（x）没有意义，故定义域关于原点不对称．
∴f（x）是非奇非偶函数．
点评：一些学生不分析定义域是否关于原点对称，而急于函数变形，极易导致错误的结论．要注意判断奇偶性的步骤：一是分析定义域是否关于原点对称，二是分析f（x）与f（-x）的关系，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x），如果存在给定的实数对（a，b），使得f（a+x）•f（a-x）=b恒成立，则称f（x）为“S-函数”．
（1）判断函数f1（x）=x，f2（x）=3x是否是“S-函数”；
（2）若f3（x）=tanx是一个“S-函数”，求出所有满足条件的有序实数对（a，b）；
（3）若定义域为R的函数f（x）是“S-函数”，且存在满足条件的有序实数对（0，1）和（1，4），当x∈[0，1]时，f（x）的值域为[1，2]，求当x∈[-2012，2012]时函数f（x）的值域．
（2012•昌平区一模）M是具有以下性质的函数f（x）的全体：对于任意s，t＞0，都有f（s）＞0，f（t）＞0，且f（s）+f（t）＜f（s+t）．
（I）试判断函数f1（x）=log2（x+1），f2(x)=2x-1是否属于M？
（II）证明：对于任意的x＞0，x+m＞0（m∈R且m≠0）都有m[f（x+m）-f（x）]＞0；
（III）证明：对于任意给定的正数s＞1，存在正数t，当0＜x≤t时，f（x）＜s．
记函数f（x）=f1（x），f（f（x））=f2（x），它们定义域的交集为D，若对任意的x∈S，f2（x）=x，则称f（x）是集合M的元素，例如f（x）=-x+1，对任意x∈R，f2（x）=f（f（x））=-（-x+1）+1=x，故f（x）=-x+1∈M．
（1）设函数f（x）=log2（1-2x），判断f（x）是否是M的元素；
（2）f（x）=
axx+b
∈M（a＜0），求使f（x）＜1成立的x的范围．
已知实数a＞0，函数f(x)=
1-x2
1+x2
+a
1+x2
1-x2
．
（1）当a=1时，求f（x）的最小值；
（2）当a=1时，判断f（x）的单调性，并说明理由；
（3）求实数a的范围，使得对于区间[-
2
5
5
，
2
5
5
]上的任意三个实数r、s、t，都存在以f（r）、f（s）、f（t）为边长的三角形．
M是具有以下性质的函数f（x）的全体：对于任意s，t＞0，都有f（s）＞0，f（t）＞0，且f（s）+f（t）＜f（s+t）．
（I）试判断函数f1（x）=log2（x+1），是否属于M？
（II）证明：对于任意的x＞0，x+m＞0（m∈R且m≠0）都有m[f（x+m）-f（x）]＞0；
（III）证明：对于任意给定的正数s＞1，存在正数t，当0＜x≤t时，f（x）＜s．

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