Question

在等差数列{a_n}中，若a₁₀=0,则有等式a₁+a₂+…+a_n=a₁+a₂+…+a₁₉-n(n＜19,n∈N^*)成立，类比上述性质，相应地,在等比数列{b_n}中，若b₉=1,则有等式_______________________成立.

Answer 1

解析：我们从更一般的角度来分析等差数列{a_n}，明了题设等式为什么成立，从而在等比数列{b_n}中得到类比的结论.当m+n=p+q,m、n、p、q是正整数时，有a_m+a_n=a_p+a_q,如果a_k=0,则a_n+1+a_2k-1-n=a_n+2+a_2k-2-n=…=a_k+a_k=0.所以有

a₁+a₂+…+a_n=a₁+a₂+…+a_n+(a_n+1+a_n+2+…+a_2k-2-n+a_2k-1-n)(n＜2k-1,n∈N^*).

    而对等比数列{b_n},则有b_mb_n=b_pb_q,如果b_k=1,则有等式

b₁b₂…b_n=b₁b₂…b_2k-1-n(n＜2k-1,n∈N^*)成立.

    结合本题k=9，于是应填：b₁b₂…b_n=b₁b₂…b_17-n(n＜17,n∈N^*).

答案：b₁b₂…b_n=b₁b₂…b_17-n(n＜17,n∈N^*).