题目内容

8．若lnx-ax＜0在（0，+∞）上恒成立，求a的范围．

分析 lnx-ax＜0在（0，+∞）上恒成立?a＞$（\frac{lnx}{x}）_{max}$，x∈（0，+∞）．令f（x）=$\frac{lnx}{x}$，x∈（0，+∞）．利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．

解答 解：lnx-ax＜0在（0，+∞）上恒成立?a＞$（\frac{lnx}{x}）_{max}$，x∈（0，+∞）．
令f（x）=$\frac{lnx}{x}$，x∈（0，+∞）．
f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
当0＜x＜e时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；当e＜x时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．
∴当x=e时，函数f（x）取得最大值，f（e）=$\frac{1}{e}$．
∴$a＞\frac{1}{e}$．
∴a的范围是$（\frac{1}{e}，+∞）$．

点评 本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值、恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

练习册系列答案
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