Question

如图，点O为坐标原点，直线l经过抛物线C：y²=4x的焦点F．
（Ⅰ）若点O到直线l的距离为，求直线l的方程；
（Ⅱ）设点A是直线l与抛物线C在第一象限的交点．点B是以点F为圆心，|FA|为半径的圆与x轴负半轴的交点．试判断直线AB与抛物线C的位置关系，并给出证明．

Answer 1

【答案】分析：法一：（Ⅰ）抛物线的焦点F（1，0），当直线l的斜率不存在时，即x=1不符合题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y=k（x-1），所以，由此能求出直线l的方程．
（Ⅱ）直线AB与抛物线相切．设A（x，y），则．因为|BF|=|AF|=x+1，所以B（-x，0），由此能够证明直线AB与抛物线相切．
法二：（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）直线AB与抛物线相切，设A（x，y），则．设圆的方程为：由此能够证明直线AB与抛物线相切．
解答：解法一：（Ⅰ）抛物线的焦点F（1，0），…（1分）
当直线l的斜率不存在时，即x=1不符合题意．…（2分）
当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为：y=k（x-1），即kx-y-k=0．…（3分）
所以，，解得：．…（5分）
故直线l的方程为：，即．…（6分）
（Ⅱ）直线AB与抛物线相切，证明如下：…（7分）
（法一）：设A（x，y），则．…（8分）
因为|BF|=|AF|=x+1，所以B（-x，0）．…（9分）
所以直线AB的方程为：，
整理得：…（1）
把方程（1）代入y²=4x得：，…（10分）
，
所以直线AB与抛物线相切．…（12分）
解法二：（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）直线AB与抛物线相切，证明如下：…（7分）
设A（x，y），则．…（8分）
设圆的方程为：，…（9分）
当y=0时，得x=1±（x+1），
因为点B在x轴负半轴，所以B（-x，0）．…（9分）
所以直线AB的方程为，
整理得：…（1）
把方程（1）代入y²=4x得：，…（10分）
，
所以直线AB与抛物线相切．…（12分）
点评：本小题考查抛物线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想等．