Question

若(

x

+

2

3 x

)n展开式中存在常数项，则n的值可以是（　　）

A．8

B．9

C．10

D．12

Answer 1

分析：由(

x

+

2

3 x

)n展开式中的通项公式Tr+1=

C

r n

(

x

)n-r•(

2

3 x

)r=2r

C

r n

x

3n-5r

6

．存在常数项，可得

3n-5r

6

=0，即3n=5r．又因为n，r必须为整数，把选择支中的整数代入验证即可．

解答：解：(

x

+

2

3 x

)n展开式中的通项公式Tr+1=

C

r n

(

x

)n-r•(

2

3 x

)r=2r

C

r n

x

3n-5r

6

．
∵存在常数项，∴

3n-5r

6

=0，即3n=5r．
经验证只有n=10时，r=6满足条件．
因此n=10．
故选C．

点评：本题考查了二项式定理的展开式中存在常数项问题，熟练掌握通项公式是解题的关键，属于基础题．