Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率e=

2

2

，且右焦点F到左准线的距离为3．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知B为椭圆C在y轴的左测上一点，线段BF与抛物线y²=2px（p＞0）交于A，且满足

AB

=2

FA

，求p的最大值．

Answer 1

分析：（1）由已知离心率及点F到准线的距离，列方程即可得a、b、c的值；（2）设B（x₀，y₀），A（x_A，y_A），利用向量相等的意义得两点坐标间的关系，分别代入椭圆和抛物线方程即可得p关于
x₀的函数，利用换元法求值域即可

解答：解：（1）∵

x2

a2

+

y2

b2

=1的离心率e=

2

2

，∴

c

a

=

2

2

．①
而右焦点到左准线之距d=c+

a2

c

=3．②
又a²=b²+c²     ③
由①②③解之得a=

2

，c=1，b=1．
从而所求椭圆方程为

x2

2

+y2=1．
（2）椭圆的右焦点为F（1，0），点B在椭圆

x2

2

+y2=1(x＜0)上，
设B（x₀，y₀），其中-

2

≤x0＜0，设A（x_A，y_A）
由

AB

=2

FA

，得（x₀-x_A，y₀-y_A）=2（x_A-1，y_A）
∴xA=

x0+2

3

，yA=

y0

3

．
由点A在抛物线y²=2px上，得

y 2 0

9

=2p•

x0+2

3

．
又

y

2 0

=1-

x 2 0

2

，
∴12p=

2- x 2 0

x0+2

．
令t=x₀+2，则2-

2

≤t＜2，
即12p=

-t2+4t-2

t

=-(t+

2

t

-4)．
∵2-

2

≤t＜2．∴t+

2

t

≥2

2

（当且仅当t=

2

时取“=”）．
∴p≤

1

3

-

2

6

．
又当t=

2

时，x0=

2

-2为椭圆在y轴左侧上的点．
故p的最大值为

1

3

-

2

6

．

点评：本题考查了椭圆的标准方程和几何性质，抛物线的标准方程，利用函数求最值的思想方法，向量在解析几何中的应用