Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD=

2

，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O为AD中点．
（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求异面直线PB与CD所成角的余弦值；
（Ⅲ）求点A到平面PCD的距离．

Answer 1

分析：（1）根据线面垂直的判定定理可知，只需证直线PO垂直平面ABCD中的两条相交直线垂直即可；
（2）先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可；
（3）利用等体积法建立等量关系，可求得点A到平面PCD的距离．

解答：解：（Ⅰ）证明：在△PAD卡中PA=PD，O为AD中点，所以PO⊥AD．
又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO?平面PAD，
所以PO⊥平面ABCD．

（Ⅱ）连接BO，在直角梯形ABCD中，BC∥AD，AD=2AB=2BC，
有OD∥BC且OD=BC，所以四边形OBCD是平行四边形，
所以OB∥DC．
由（Ⅰ）知PO⊥OB，∠PBO为锐角，
所以∠PBO是异面直线PB与CD所成的角．
因为AD=2AB=2BC=2，在Rt△AOB中，AB=1，AO=1，所以OB=

2

，
在Rt△POA中，因为AP=

2

，AO=1，所以OP=1，
在Rt△PBO中，PB=

OP2+OB2

=

3

，
cos∠PBO=

OB

PB

=

2

3

=

6

3

，
所以异面直线PB与CD所成的角的余弦值为

6

3

．

（Ⅲ）由（Ⅱ）得CD=OB=

2

，
在Rt△POC中，PC=

OC2+OP2

=

2

，
所以PC=CD=DP，S_△PCD=

3

4

•2=

3

2

．
又S△=

1

2

AD•AB=1，
设点A到平面PCD的距离h，
由V_P-ACD=V_A-PCD，
得

1

3

S_△ACD•OP=

1

3

S_△PCD•h，
即

1

3

×1×1=

1

3

×

3

2

×h，
解得h=

2 3

3

．

点评：本题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成角、点到平面的距离等基本知识，考查空间想象能力，逻辑思维能力和运算能力．