题目内容

已知函数f（x）=（ $数学公式$ ）²（x≥4）的反函数为f^-1（x），数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=f^-1（a_n）（n∈N^*），数列{b_n}满足 $数学公式$ ．
（Ⅰ）求证{ $数学公式$ }为等差数列；
（Ⅱ）若数列{b_n}的前n项和为S_n，求S_n．

解：（Ⅰ）∵f（x）=（ $\text{[math]}$ ）²（x≥4），
∴f^-1（x）=（ $\text{[math]}$ ）²（x≥0），
∴a_n+1=f^-1（a_n）=（ $\text{[math]}$ +2）²，
即 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =2（n∈N*）．
∴数列{ $\text{[math]}$ }是以 $\text{[math]}$ =1为首项，公差为2的等差数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得： $\text{[math]}$ =1+2（n-1）=2n-1，所以a_n=（2n-1）²
∴b_n= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=（1- $\text{[math]}$ ）+（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）+…+（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$
分析：（Ⅰ）先由函数f（x）=（ $\text{[math]}$ ）²（x≥4），求得反函数，再由a_n+1=f^-1（a_n）求得 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =2（n∈N*）由等差数列的定义得证．（Ⅱ）由（Ⅰ）可计算得a_n=（2n-1）²从而计算得到b_n= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ，最后由错位相消法求和．
点评：本题主要考查数列与函数的综合运用，主要涉及了等差数列的定义及通项公式，错位相消法求和等问题，属中档题，是常考类型．