Question

已知函数f（x）=sin2x+acos²x（a∈R，a为常数），且是函数y=f（x）的零点．
（1）求a的值，并求函数f（x）的最小正周期；
（2）若x∈[0，]，求函数f（x）的值域，并写出f（x）取得最大值时x的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由是函数y=f（x）的零点得到x=是方程f（x）=0的解，即f（）=0，代入f（x）中即可求出a的值，然后把求出a的值代入
f（x）中，然后利用二倍角的余弦函数公式及两角差的正弦函数公式和特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，根据T求出最小正周期即可；
（2）根据x的范围求出2x-的范围，根据正弦函数的图象求出sin（2x-）的值域即可得到f（x）的值域，当f（x）有最大值时，2x-=2kπ+解出x的范围，因为x为锐角得到k=0，即可求出x的值．
解答：解：（1）由于是函数y=f（x）的零点，即x=是方程f（x）=0的解，
从而f（）=sin+acos²=0，
则1+a=0，解得a=-2．
所以f（x）=sin2x-2cos²x=sin2x-cos2x-1，
则f（x）=sin（2x-）-1，
所以函数f（x）的最小正周期为π．

（2）由x∈[0，]，得2x-∈[-，]，
则sin（2x-）∈[-，1]，
则-1≤sin（2x-）≤，
-2≤sin（2x-）-1≤-1，
∴值域为[-2，-1]．
当2x-=2kπ+（k∈Z），
即x=kπ+π时，
f（x）有最大值，又x∈[0，]，
故k=0时，x=π，
f（x）有最大值-1．
点评：此题既考查学生掌握函数零点的意义及三角函数周期的求法，又考查学生会求正弦函数的在某一范围内的最值以及会求正弦函数的值域．是一道综合题．