题目内容
如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为矩形，且PD⊥平面ABCD，且PD=CD，设点E，F分别为棱PB，PC的中点（1）求证：EF∥平面PAD；
（2）求证：PC⊥平面DEF．
分析：（I）由E、F分别是PB、PC的中点，可由三角形中位线定理得到EF∥BC，进而根据底面是矩形，对边平行得到EF∥AD，结合线面平行的判定定理得到EF∥平面PAD；
（Ⅱ）由PD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，可得PC⊥BC，进而由线面垂直的判定定理得到PC⊥平面DEF．
（Ⅱ）由PD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，可得PC⊥BC，进而由线面垂直的判定定理得到PC⊥平面DEF．
解答：证明：（1）由已知EF为△PBC的中位线，所以EF∥BC，
又因为BC∥AD，所以EF∥AD，
而AD?平面PAD，EF?平面PAD，所以EF∥平面PAD
（2）由已知PC在平面ABCD中的射影为CD，BC⊆面ABCD，BC⊥CD，
由三垂线定理可知：BC⊥PC，
而EF∥BC，所以PC⊥EF，
又因为△PCD为等腰三角形，F为PC中点，所以PC⊥DF，
又因为EF∩DF=F，所以PC⊥平面DEF．
又因为BC∥AD，所以EF∥AD，
而AD?平面PAD，EF?平面PAD，所以EF∥平面PAD
（2）由已知PC在平面ABCD中的射影为CD，BC⊆面ABCD，BC⊥CD，
由三垂线定理可知：BC⊥PC，
而EF∥BC，所以PC⊥EF，
又因为△PCD为等腰三角形，F为PC中点，所以PC⊥DF，
又因为EF∩DF=F，所以PC⊥平面DEF．
点评：本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，属于中档题．
练习册系列答案
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