Question

已知函数F(x)=

∫

x 0

(t2-t-2)dt，则F（x）的极小值为（　　）

• A．-

  10

  3

• B．

  10

  3

• C．-

  13

  6

• D．

  13

  6

Answer 1

分析：先用微积分基本定理算出F（x）=

1

3

x3-

1

2

x2-2x，再利用导数研究F'（x）=x²-x-2的正负，得到函数F（x）的单调性，从而得到F（x）的极小值．

解答：解：根据微积分基本定理，得
F(x)=

∫

x 0

(t2-t-2)dt=

1

3

x3-

1

2

x2-2x
∵F'（x）=x²-x-2=（x+1）（x-2）
∴当x∈（-1，2）时，F'（x）＜0；当x∈（-∞，-1）或x∈（2，+∞）时，F'（x）＞0
由此可得，F（x）的增区间是（-∞，-1）和（2，+∞）；减区间是（-1，2）
∴F（x）的极小值为F（2）=

1

3

×2³-

1

2

×2²-2×2=-

10

3

故选：A

点评：本题给出F（x）是一个函数的原函数，求F（x）表达式并求极小值，着重考查了定积分运算公式和函数求极值等知识，属于基础题．