Question

函数f（x）=

x2+1

ax+b

（a，b为常数），且方程f（x）-x-1=0有两实根为x₁=0，x₂=1．
（1）求f（x）解析式
（2）设k＞0，解关于x不等式：f（x）＜（k+

1

k

）x．

Answer 1

分析：（1）根据方程f（x）-x-1=0有两实根为x₁=0，x₂=1，代入方程，求出a，b的值，即可得到函数解析式；
（2）分类讨论，比较方程根的大小，即可得到结论．

解答：解：（1）∵方程f（x）-x-1=0有两实根为x₁=0，x₂=1，
∴

1

b

-1=0，

2

a+b

-2=0
∴b=1，a=0，
∴f（x）=x²+1；
（2）由题意，x²+1＜（k+

1

k

）x
∴(x-k)(x-

1

k

)＜0
∴0＜k＜1时，k＜

1

k

，不等式的解集为（k，

1

k

）；
k=1时，k=

1

k

，不等式的解集为∅；
k＞1时，k＞

1

k

，不等式的解集为（

1

k

，k）．

点评：本题考查函数解析式的确定，考查解不等式，考查学生的计算能力，属于中档题．