Question

【题目】已知函数

（1）当时，求的单调区间；

（2）如果对任意，恒成立，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）(-,2]

【解析】

（1）将a代入，求出函数的导数，分别解f′（x）〈0和f′（x）〉0，求出函数的单调区间即可；

（2）由原不等式移项为右侧为0的形式，构造新的函数，通过求导对a讨论，研究其增减性及最值，逐步得解．

(1)当a=2时，f(x)=(x2+2x+1)e-x

f′（x）=-(x+1)(x-1)e-x

由f′（x）〈0得x<-1或x>1;由f′（x）〉0得-1<x<1;

所以f(x)的单调递增区间为(-1,1),

f(x)的单调递减区间为(-，-1)，（1，+）

(2)f(x)≤x+1

ax2+ax+1≤(x+1)ex

(x+1)ex-ax2-ax-1≥0

令g(x)=(x+1)ex-ax2-ax-1,则g′(x)=(x+2)ex-ax-a，

令F(x)=g′(x)=(x+2)ex-ax-a,则F′(x)=(x+3)ex-a，

令t(x)=F′(x)=(x+3)ex-a,则t′(x)=(x+4) ex，

当x≥0时，t′(x)>0恒成立，从而t(x)在[0,+)上单调递增,

此时t(0)=3-a,

F(0)=2-a,g(0)=0

当a≤2时，t(x)≥t(0)=3-a>0,即F′(x)>0所以F(x)在[0,+)上单调递增

所以F(x)≥F(0)=2-a≥0,即g′(x)≥0，从而g(x)在[0,+)上单调递增

所以g(x)≥g(0)=0

即(x+1)ex-ax2-ax-1≥0恒成立,

所以当a≤2时合题意；

②当2<a≤3时，t(x)在[0,+)上单调递增,且t(x)≥t(0)=3-a≥0即F′(x)≥0

∴F(x)=g′(x)在[0,+)上单调递增,又F(0)=g′(0)=2-a<0，

∴必存在x1(0,+),使得x（0,x1)时，

g(x)在(0,x1)上单调递减，

∴g(x)<g(0)=0，

这与g(x)≥0在x≥0时恒成立矛盾，从而当2<a≤3时不合题意；

③当a>3时，t(x)在[0,+)上单调递增且t(0)=3-a<0，

必存在x2(0,+),使得x(0,x2)时，t(x)<0，即F′(x)<0,从而F(x)=g′(x)在[0,+)上单调递减,

∴F(x)<F(0)=g′(0)=2-a<0，

从而g(x)在(0,x1)上单调递减 ，

g(x)<g(0)=0，这与g(x)≥0在x≥0时恒成立矛盾，从而a>3时不合题意；

综上：a的取值范围是(-,2]