Question

【题目】已知，函数.

（1）当时，解不等式；

（2）若关于的方程的解集中恰有一个元素，求的值；

（3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）.

【解析】试题分析：（1）利用已知条件，将代入，解不等式，求出的取值范围；（2）首先分情况进行讨论，利用仅有一解，即和的两种情况进行讨论；（3）利用函数的单调性，最大值和最小值，将不等式进行转换和化简从而求出的取值范围.

试题解析：（1）由得解得

（2）方程的解集中恰有一个元素.

等价于仅有一解，

等价于仅有一解，

当时，，符合题意；

当时，，解得

综上：或

（3）当时，，，

所以在上单调递减.

函数在区间上的最大值与最小值分别为，.

即，对任意成立.

因为，所以函数在区间上单调递增，

所以时，有最小值，由，得.

故的取值范围为.