Question

（2013•河池模拟）已知函数f（x）=x³-ax²+bx+c（a，b，c∈R）
（1）若函数f（x）在x=-1和x=3时取得极值，当x∈[-2，6]时，f（x）＜2|c|恒成立，求c的取值范围
（2）若g（x）=x³+（b-a+1）x+a+c 写出使的g（x）＞f（x）的x取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据所给的函数在两个点取得极值，写出函数的导函数，则导函数在这两个点的值等于0，得到关于a，b的方程组，解方程组即可求出a，b；再根据单调性求出函数的最大值，让其小于代数式即可．
（2）先把不等式转化为ax²+（1-a）x+a＞0；再通过对a的取值的讨论即可得到g（x）＞f（x）的x取值范围．

解答：解：（1）f′（x）=3x²-2ax+b，
∵函数f（x）在x=-1和x=3时取得极值，
∴-1，3是方程3x²-2ax+b=0的两根，
∴

-1+3= 2 3 a -1×3= b 3

⇒

a=3 b=-9

∴f（x）=x³-3x²-9x+c，f′（x）=3x²-6x-9，
当x变化时，有下表

x	（-∞，-1）	-1	（-1，3）	3	（3，+∞）
f’（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	最大值 c+5	↘	最小值 c-27	↗

而f（-2）=c-2，f（6）=c+54，
∴x∈[2，6]时f（x）的最大值为c+54
要使f（x）＜2|c|恒成立，只要c+54＜2|c|即可
⇒c＞54，c＜-18．
∴c∈（-∞，-18）∪（54，+∞）
（2）不等式可化为ax²+（1-a）x+a＞0．
当a=0时，x＞0
当a≠0时，对应方程的△=1-3a²-2a=-（3a-1）（a+1）
所以：当0＜a＜

1

3

时，x＞

a-1+ 1-3a2-2a

2a

或x＜

a-1- 1-3a2-2a

2a

当a＞

1

3

时，x∈R，
当a=

1

3

时，x≠-1
当-1＜a＜0时，

a-1+ 1-3a2-2a

2a

＜x＜

a-1- 1-3a2-2a

2a

当a≤-1时，x∈∅．

点评：本题主要考查函数的极值的应用，考查函数的恒成立问题，本题解题的关键是写出函数的最值，拿函数的最值同要比较的量进行比较，再利用不等式或方程思想．