Question

18．若a，b∈[1，3]，且a+b=4，y=$\sqrt{a+\frac{1}{a}}$+$\sqrt{b+\frac{1}{b}}$．
（1）令x=ab，求x的取值范围；
（2）用x表示y²．

Answer 1

分析 （1）由于a，b∈[1，3]，且a+b=4，由b=4-a∈[1，3]，解得1≤a≤3．因此x=ab=-（a-2）²+4=g（a），利用二次函数的单调性即可得出．
（2）由y=$\sqrt{a+\frac{1}{a}}$+$\sqrt{b+\frac{1}{b}}$，两边平方可得：y²=a+$\frac{1}{a}$+b+$\frac{1}{b}$+2$\sqrt{（a+\frac{1}{a}）（b+\frac{1}{b}）}$，化简整理就即可得出．

解答 解：（1）∵a，b∈[1，3]，且a+b=4，
∴b=4-a∈[1，3]，解得1≤a≤3．
∴x=ab=a（4-a）=-a²+4a=-（a-2）²+4=g（a），
∵函数g（a）在[1，2]上单调递增，在[2，3]上单调递减．
∴当a=2时，函数g（a）取得最大值，g（2）=4．
由于g（1）=3，g（3）=3，∴函数g（a）的最小值为3．
∴x∈[3，4]．
（2）∵y=$\sqrt{a+\frac{1}{a}}$+$\sqrt{b+\frac{1}{b}}$，
∴y²=a+$\frac{1}{a}$+b+$\frac{1}{b}$+2$\sqrt{（a+\frac{1}{a}）（b+\frac{1}{b}）}$
=4+$\frac{4}{ab}$+2$\sqrt{ab+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{1}{ab}}$
=$4+\frac{4}{ab}$+2$\sqrt{ab+\frac{（a+b）^{2}-2ab}{ab}+\frac{1}{ab}}$
=4+$\frac{4}{x}$+2$\sqrt{x+\frac{16-2x}{x}+\frac{1}{x}}$
=4+$\frac{4}{x}$+2$\sqrt{x+\frac{17}{x}-2}$，x∈[3，4]．

点评 本题考查了二次函数的单调性、乘法公式，考查了计算能力，属于中档题．