Question

已知数列满足：，其中．
（1）当时，求{a_n}的通项公式；
（2）在（1）的条件下，若数列{b_n}中，，且b₁=1．求证：对于恒成立；
（3）对于，设{a_n}的前n项和为S_n，试比较S_n+2与的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）先确定数列{a_n}是首项为a₁=1，公比为的等比数列，再求数列{a_n}的通项公式；
（2）由（1）得，，从而可得确定角的范围，即可得到结论；
（3）解法一：先确定{a_n}的通项公式，再分组求和，作差比较可得结论；
解法二：先确定{a_n}的通项公式，再分组求和，利用放缩法可得结论；
解答：（1）解：当时，，∴，即分
故数列{a_n}是首项为a₁=1，公比为的等比数列．
故数列{a_n}的通项公式为 分
（2）证明：由（1）得，，
∴当n∈N^*，n≥2时，有=分
b₁=1也满足上式，故当n∈N^*时，．
∵n∈N^*，
∴，
∴，即分
（3）解：解法一：由得：，
∴，即，
∴是首项为，公比为sin²θ的等比数列，
故分
∴S_n=a₁+a₂+…+a_n=（cos²θ+cos⁴θ+…+cos²ⁿθ）+（sin²θ+sin⁴θ+…+sin²ⁿθ）
=分
因此，S_n+2-=+2-
=
=
=，
∴S_n+2＜．…（14分）
解法二：同解法一得 分
∵分
∴S_n=a₁+a₂+…+a_n=（cos²θ+cos⁴θ+…+cos²ⁿθ）+（sin²θ+sin⁴θ+…+sin²ⁿθ）===
∴S_n+2＜．…（14分）
（其他解法酌情给分）
点评：本题考查数列的通项，考查不等式的证明，考查大小比较，确定数列通项，掌握求和方法是关键．