Question

(经典回放)已知a，b，c∈(0，1)，求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能同时大于．

Answer 1

答案：
解析：

证法一：假设三式同时大于， 　　即有(1－a)b＞，(1－b)c＞，(1－c)a＞， 　　三式同向相乘，得(1－a)a(1－b)b(1－c)c＞． 　　又(1－a)a≤()2＝． 　　同理，(1－b)b≤，(1－c)c≤． 　　∴(1－a)a(1－b)b(1－c)c≤，与假设矛盾，结论正确． 　　证法二：假设三式同时大于， 　　∵0＜a＜1，∴1－a＞0， 　　． 　　同理都大于． 　　三式相加，得，矛盾． 　　∴原命题成立． 　　思路分析：“不能同时”包含情况较多，而其否定“同时大于”仅有一种情况，因此用反证法．

提示：

结论若是“都是……”“都不是……”“至少……”“至多……”或“……≠……”形式的不等式命题，往往可应用反证法，因此，可从这些语言上来判断是否可用此方法证明．