Question

如图，直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD⊥CD，且2AB=AD=CD=2．四边形ADEF为正方形，且平面ADEF⊥平面ABCD．连FC，M为FC中点．
（1）求证：BM∥平面ADEF；
（2）求证：FC⊥AE；
（3）求三棱锥F-BDM的体积．

Answer 1

分析：（1）设FD∩AE=O，连MO，可得OM

∥ .

.

1

2

DC，即可得到AB

∥ .

.

OM．可得四边形ABMO为平行四边形，所以BM∥AO，再根据线面平行的判定定理可得线面平行．
（2）由面面垂直的性质定理可得：CD⊥平面ADEF，即可得到CD⊥AE，在正方形ABCD中，FD⊥AE，再利用线面垂直的判定定理可得线面垂直，进而得到线线垂直．
（3）由面面垂直的性质定理可得：FA⊥平面ABCD，即可得到点F到平面ABCD距离为FA=2，进而得到点M到平面ABCD距离为1，再结合题意分别求出V_F-ABCD，V_F-ABD，V_M-BCD，进而求出答案．

解答：证明：（1）设FD∩AE=O，连MO．
∵M、O分别为FC、FD的中点，
∴OM

∥ .

.

1

2

DC，
又∵AB

∥ .

.

1

2

DC，
∴AB

∥ .

.

OM．…2分
∴四边形ABMO为平行四边形．
∴BM∥AO，
∵AO?平面ADEF，BM?平面ADEF，
∴BM∥平面ADEF．…4分
（2）∵平面ADEF⊥平面ADCB，且CD⊥AD，
∴CD⊥平面ADEF．…6分
∴CD⊥AE，
在正方形ABCD中，FD⊥AE，
∴AE⊥平面CDF，
又∵AE?平面CDF，
∴FC⊥AE．…9分
（3）∵平面ADEF⊥平面ADCB，且FA⊥AD，
∴FA⊥平面ABCD，
∴点F到平面ABCD距离为FA=2
又∵M为FC中点，
∴点M到平面ABCD距离为

1

2

FA=1
∴V_F-ABCD=

1

3

SABCD•FA=

1

3

•

1

2

（1+2）•2•2=2，V_F-ABD=

1

3

S△ABD•FA=

1

3

•

1

2

•2•1•2=

2

3

，V_M-BCD=

1

3

S△BCD•1=

1

3

•

1

2

•2•2•1=

2

3

，
∴V_F-BDM=V_F-ABCD-V_F-ABD-V_M-BCD=2-

2

3

-

2

3

=

2

3

．…14分．

点评：本题主要考查线面平行、线线垂直与几何体的体积，解决此类问题的关键是熟练掌握几何体的结构特征，进而得到空间中点、线、面的位置关系，结合有关定理进行证明，并且也有利于建立空间直角坐标系，利用向量的有关知识解决空间角与空间距离、线面平行、线线垂直等问题．