Question

（2008•浦东新区二模）已知函数f （x ）=

x+a

x+2

（a为常数）．
（1）解不等式f（x-2）＞0；
（2）当x∈[-1，2]时，f （x）的值域为[

5

4

，2]，求a的值．

Answer 1

分析：（1）利用函数表达式，将x-2代入，变成关于x的分式不等式，再通过讨论字母a的取值范围，可以得出解集的三种不同情形；
（2）在（1）的结论下，根据函数的单调性，分别解不等式组：

f(-1)=2 f(2)= 5 4

或

f(2)=2 f(-1)= 5 4

，再通过解出的a值看符不符合大前提，最终可以得出满足条件的a值．

解答：解：（1）f(x-2)=

x-(2-a)

x

＞0
当2-a＞0，即a＜2时，不等式的解为：x＜0或x＞2-a------------------------（2分）
当2-a=0，即a=2时，不等式的解为：x≠0且x∈R-------------------------（4分）
当2-a＜0，即a＞2时，不等式的解为：x＜2-a或x＞0-----------------------（6分）
（2）f(x)=

x+a

x+2

=1+

a-2

x+2

-----------------------------------------------------（7分）
①a＞2时，f（x）单调递减，-------------（8分），
所以

-1+a -1+2 =2 2+a 2+2 = 5 4

⇒a=3------（10分）
②a=2时，不符合题意----------------------------------------------------------------------（11分）
③a＜2时，f（x）单调递增，-----------（12分），所以

-1+a -1+2 = 5 4 2+a 2+2 =2

⇒a无解------（14分）
所以，a=3

点评：本题以一次分式函数为载体，考查了函数最值的应用，属于难题．根据字母参数的取值，合理地进行分类讨论，从而找出问题的解答，讨论时应注意相应的大前提．