Question

椭圆C:的两个焦点为F₁,F₂,点P在椭圆C上，且

       （Ⅰ）求椭圆C的方程；

       （Ⅱ）若直线l过点M，交椭圆C于两点，且M恰是A,B中点，求直线l的方程．

Answer 1

解法一：（Ⅰ）因为点P在椭圆C上，所以，a=3．

在Rt△PF₁F₂中，故椭圆的半焦距c=,

从而b²=a²－c²=4,

  所以椭圆C的方程为＝1．        （6分）

（Ⅱ）设A，B的坐标分别为（x₁,y₁）、（x₂,y₂）．若直线l斜率不存在，显然不合题意。

   从而可设过点（－2，1）的直线l的方程为 y=k（x+2）+1,             （8分）

   代入椭圆C的方程得

  （4+9k²）x²+（36k²+18k）x+36k²+36k－27=0．

   因为A，B关于点M对称． 所以    解得，

   所以直线l的方程为

   即8x-9y+25=0．

   （经检验，所求直线方程符合题意）                     （14分）

解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）   设A，B的坐标分别为（x₁,y₁）,（x₂,y₂）．由题意x₁x₂且

                                                                           ①

                                                                           ②

由①－②得               ③

因为A、B关于点M对称，   所以x₁+ x₂=－4, y₁+ y₂=2,

代入③得＝，  即直线l的斜率为，

所以直线l的方程为y－1＝（x+2），即8x－9y+25=0．（14分）