Question

已知函数f（x）=lg（x+

a

x

-2），其中a为大于零的常数．
（1）当a=1时，求函数f（x）的定义域；
（2）若对任意x∈[2，+∞），恒有f（x）＞0，试确定a的取值范围；
（3）若f（x）的值域为R，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求函数f（x）的定义域，就是求 x+

a

x

-2＞0，可以通过对数的真数是正数解决；
（2）对任意x∈[2，+∞）恒有f（x）＞0，即 x+

a

x

-2＞1对x∈[2，+∞）恒成立，转化为a是x的函数，即可求得a的取值范围．
（3）f（x）的值域为R，则其真数在实数集上不恒为正，将这一关系转化为不等式求解参数的范围即可．

解答：解：（1）由 x+

a

x

-2＞0得，

x2-2x+a

x

＞0，
a=1时，定义域为{x|x＞0且x≠1}，
（2）对任意x∈[2，+∞）恒有f（x）＞0，
 即 x+

a

x

-2＞1对x∈[2，+∞）恒成立
∴a＞3x-x²，而 h(x)=3x-x2=-(x-

3

2

)2+

9

4

在x∈[2，+∞）上是减函数，
∴h（x）_max=h（2）=2，
∴a＞2．
（3）函数 f(x)=loga(x+

a

x

-2)，（a＞0）的值域为R，其真数在实数集上不恒为正，
即 x+

a

x

-2＞0不恒成立，即存在x∈R使得 x+

a

x

≤2，又a＞0
故可求 x+

a

x

的最小值，令其小于等于2
∵x+

a

x

≥2

a

∴2

a

≤2，解得a≤1，
故实数a的取值范围是（0，1]．

点评：本题考查函数恒成立问题，（1）着重考查分类讨论思想；（2）着重考查分离参数法，是一道好题．