Question

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，O是AC与BD的交点，E为BB₁的中点．
（Ⅰ）求证：直线B₁D∥平面AEC；
（Ⅱ）求证：B₁D⊥平面D₁AC；
（Ⅲ）求三棱锥D-D₁OC的体积．

Answer 1

分析：（1）利用三角形的中位线性质，线面平行的判定定理．
（2）利用线面垂直的判定定理证明AC⊥面BDB₁，从而证明AC⊥B₁D，同理可证B₁D⊥AD₁，进而可证；
（3）等体积法求三棱锥的体积，三棱锥D-D₁OC与三棱锥D₁-DOC的体积相等，D₁-DOC的高是D₁D的长，面积等于底面正方形面积的

1

4

，体积可求．

解答：解：
（Ⅰ）连接OE，在△B₁BD中，
∵E为BB₁的中点，O为BD的中点，
∴OE∥B₁D
又∵B₁D?平面AEC
∴直线B₁D∥平面AEC．（4分）

（Ⅱ）在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵B₁B⊥平面ABCD，AC?平面ABCD
∴B₁B⊥AC．∵BD⊥AC
且BB₁∩BD=B
∴B₁D⊥AC
∴AC⊥B₁D
同理可证B₁D⊥AD₁
∵AC∩AD₁=A
∴B₁D⊥平面D₁AC．（9分）
（Ⅲ）VD-D1OC=VD1-DOC=

1

3

•DD1•S△DOC=

1

3

×2×1=

2

3

．（14分）

点评：本题考查线面平行、垂直的判定方法．