Question

设函数f（x）=axⁿ（1-x）+b（x＞0），n为正整数，a，b为常数，曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为x+y=1。
（1）求a，b的值；
（2）求函数f（x）的最大值；
（3）证明：f（x）＜。

Answer 1

解：（1）因为f（1）=b，由点（1，b）在x+y=1上，可得1+b=1，即b=0
因为f′（x）=anx^n-1-a（n+1）xⁿ，所以f′（1）=-a．
又因为切线x+y=1的斜率为-1，
所以-a=-1，即a=1，
故a=1，b=0 。
（2）由（1）知，f（x）=xⁿ（1-x），则有f′（x）=（n+1）x^n-1（-x），
令f′（x）=0，解得x=在（0，）上，导数为正，
故函数f（x）是增函数；在（，+∞）上导数为负，故函数f（x）是减函数；
故函数f（x）在（0，+∞）上的最大值为f（）=（）ⁿ（1-）=。
（3）令φ（t）=lnt-1+，则φ′（t）=-=（t＞0）
在（0，1）上，φ′（t）＜0，故φ（t）单调减；
在（1，+∞），φ′（t）＞0，故φ（t）单调增；
故φ（t）在（0，∞）上的最小值为φ（1）=0，
所以φ（t）＞0（t＞1）
则lnt＞1-，（t＞1），
令t=1+，得ln（1+）＞，
即ln（1+）n+1＞lne
所以（1+）n+1＞e，
即＜
由（2）知，f（x）≤＜，
故所证不等式成立。