题目内容
（2007•杨浦区二模）设过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，且AB中点为M，则点M的轨迹方程是
y2=2（x-1）
y2=2（x-1）
．分析：先根据抛物线方程求得焦点坐标，进而设出过焦点弦的直线方程，与抛物线方程联立消去y，根据韦达定理表示出x1+x2，进而根据直线方程求得y1+y2，进而求得焦点弦的中点的坐标的表达式，消去参数k，则焦点弦的中点轨迹方程可得．
解答：解：由题知抛物线焦点为（1，0）
设焦点弦方程为y=k（x-1）
代入抛物线方程得所以k2x2-（2k2+4）x+k2=0
由韦达定理：
x1+x2=
所以中点M横坐标：x=
=
代入直线方程，中点M纵坐标：
y=k（x-1）=
．即中点M为（
，
）
消参数k，得其方程为：y2=2x-2，
当线段PQ的斜率存在时，线段PQ中点为焦点F（1，0），满足此式，
故答案为：y2=2（x-1）
设焦点弦方程为y=k（x-1）
代入抛物线方程得所以k2x2-（2k2+4）x+k2=0
由韦达定理：
x1+x2=
| 2k2+4 |
| k2 |
所以中点M横坐标：x=
| x1+x2 |
| 2 |
| k2+2 |
| k2 |
代入直线方程，中点M纵坐标：
y=k（x-1）=
| 2 |
| k |
| k2+2 |
| k2 |
| 2 |
| k |
消参数k，得其方程为：y2=2x-2，
当线段PQ的斜率存在时，线段PQ中点为焦点F（1，0），满足此式，
故答案为：y2=2（x-1）
点评：本题主要考查了抛物线的简单性质，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．
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