Question

（2007•杨浦区二模）设过抛物线y²=4x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，且AB中点为M，则点M的轨迹方程是

y²=2（x-1）

．

Answer 1

分析：先根据抛物线方程求得焦点坐标，进而设出过焦点弦的直线方程，与抛物线方程联立消去y，根据韦达定理表示出x₁+x₂，进而根据直线方程求得y₁+y₂，进而求得焦点弦的中点的坐标的表达式，消去参数k，则焦点弦的中点轨迹方程可得．

解答：解：由题知抛物线焦点为（1，0）
设焦点弦方程为y=k（x-1）
代入抛物线方程得所以k²x²-（2k²+4）x+k²=0
由韦达定理：
x₁+x₂=

2k2+4

k2

所以中点M横坐标：x=

x1+x2

2

=

k2+2

k2

代入直线方程，中点M纵坐标：
y=k（x-1）=

2

k

．即中点M为（

k2+2

k2

，

2

k

）
消参数k，得其方程为：y²=2x-2，
当线段PQ的斜率存在时，线段PQ中点为焦点F（1，0），满足此式，
故答案为：y²=2（x-1）

点评：本题主要考查了抛物线的简单性质，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．