题目内容
已知△ABC是正三角形，PA⊥平面ABC，且PA＝AB＝a，求二面角A-PC-B的大小.
思路解析：要求二面角的大小，首先要在图形中构造出二面角的平面角，然后利用其平面角度量二面角的大小.过棱上一点，分别在两个面内作或证棱的垂线，即可产生二面角的平面角，要充分利用三角函数定义求得具体值.
解：取AC的中点M，连结BM，∵△ABC是等边三角形，
∴BM⊥AC.
作MN⊥PC于N，连结BN.
∵PA⊥平面ABC，∴平面PAC⊥平面ABC.
∵BM⊥AC，平面PAC∩平面ABC＝AC,
∴BM⊥平面PAC(面面垂直的性质).
∵MN⊥PC，∴NB⊥PC.
∴∠MNB是二面角A-PC-B的平面角.
易知MN=
a，BM＝
a.
∴tan∠MNB＝
∴∠MNB＝arctan
，
即二面角A-PC-B的大小为arctan6.
方法归纳 度量二面角的大小是通过其平面角进行的，所以在图形中构造出二面角的平面角，就能将空间问题转化为平面问题，再利用直角三角形中锐角三角函数定义，或斜三角形中的直角三角形加以处理.求α-l-β的二面角时，通常在其中的一个半平面内找一点A，作另一个半平面的垂线，垂足为B，然后过A(或B)作l的垂线，垂足为C，连结BC(或AC)，则∠ACB即为所求.
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