Question

已知函数f(x)=

x(1+lnx)

x-1

，(x＞1)
（1）设x₀为函数f（x）的极值点，求证：f（x₀）=x₀；
（2）若当x＞1时，xlnx+（1-k）x+k＞0恒成立，求正整数k的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用导数的运算法则即可得到f′（x），利用函数取得极值的条件，可得f′（x₀）=0，即x₀-2-lnx₀=0，变形x₀-1=1+lnx₀，即可证明；
（2）由于xlnx+（1-k）x+k＞0恒成立，分离参数得k＜

x(1+lnx)

x-1

=f(x)．故只需f（x）_min＞k，利用导数研究函数f（x）的极小值即可．

解答：解：（1）∵f(x)=

x(1+lnx)

x-1

，(x＞1)，∴f′(x)=

x-2-lnx

(x-1)2

，
∵x₀为函数f（x）的极值点，∴f'（x₀）=0，
即x₀-2-lnx₀=0，于是x₀-1=1+lnx₀，
故f(x0)=

x0(1+lnx0)

x0-1

=

x0(x0-1)

x0-1

=x0．
（2）xlnx+（1-k）x+k＞0恒成立，分离参数得k＜

x(1+lnx)

x-1

=f(x)．
则x＞1时，f（x）＞k恒成立，只需f（x）_min＞k，f′(x)=

x-2-lnx

(x-1)2

，
记g（x）=x-2-lnx，∴g′(x)=1-

1

x

＞0，
∴g（x）在（1，+∞）上递增，又g（3）=1-ln3＜0，g（4）=2-ln4＞0，
∴g（x）在（1，+∞）上存在唯一的实根x₀，且满足x₀∈（3，4），
∴当1＜x＜x₀时g（x）＜0，即f'（x）＜0；当x＞x₀时g（x）＞0，
即f'（x）＞0，f（x）_min=f（x₀）=x₀∈（3，4），
故正整数k的最大值为3．

点评：本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值、分离参数法、函数的零点等基础知识与基本方法，熟练掌握知识与方法是解题的关键，属于难题．