Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=2a_n-3•2ⁿ+4，n=1，2，3，…．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设T_n为数列{S_n-4}的前n项和，求T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）令n=1得a₁=s₁=2a₁-2即a₁=2，然后当n≥2时根据s_n-s_n-1得到a_n变形为

an

2n

=

an-1

2n-1

+

3

2

，设bn=

an

2n

，则数列{b_n}是首项b₁=1、公差为

3

2

的等差数列，表示出b_n通项即可求出a_n；
（Ⅱ）先求出s_n-4的通项公式，利用数列求和的方法求出T_n即可．

解答：解：（Ⅰ）∵a₁=S₁=2a₁-2，∴a₁=2．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，a_n=2a_n-1+3×2^n-1，于是

an

2n

=

an-1

2n-1

+

3

2

；方法
令bn=

an

2n

，则数列{b_n}是首项b₁=1、公差为

3

2

的等差数列，bn=

3n-1

2

；
∴a_n=2ⁿb_n=2^n-1（3n-1）．
（Ⅱ）∵S_n-4=2ⁿ（3n-4）=3×2ⁿ×n-2ⁿ⁺²，
∴T_n=3（2×1+2²×2++2ⁿ×n）-4（2+2²++2ⁿ），
记W_n=2×1+2²×2++2ⁿ×n①，则2W_n=2²×1+2³×2++2ⁿ⁺¹×n②，
①-②有-W_n=2×1+2²++2ⁿ-2ⁿ⁺¹×n=2ⁿ⁺¹（1-n）-2，
∴W_n=2ⁿ⁺¹（n-1）+2．
故Tn=3×[2n+1(n-1)+2]-4

2(1-2n)

1-2

=2n+1(3n-7)+14•

点评：考查学生理解掌握等差数列的通项公式的能力，以及会应用数列求和的方法．