Question

设函数f(x)=x²+ax+2lnx，a∈R，已知函数f(x)在x=1处有极值，
(1)求实数a的值；
(2)当x∈[，e](其中e是自然对数的底数)时，证明：e^{(e-x)(e+x-6)+4}≥x⁴；
(3)证明：对任意的n＞1，n∈N*，不等式恒成立。

Answer 1

解：(1)由题知f′(x)=x+a+的一个根为1，
∴f′(1)=0，
∴1+a+2=0，即a=-3；
(2)，
∴，
由f′(x)=，解得x＞2或0＜x＜1，
由f′(x)=，解得1＜x＜2，
，
∴函数f(x)的单调递增区间为、(2，e)，单调递减区间为(1，2)，
∴当时，f(x)的极大值为，
又，，
∴当时，，
∴，
即e²-6e+4≥x²-6x+4lnx，
即e²-x²+6x-6e+4≥41nx，
即(e-x)(e+x-6)+4≥4lnx，
即，
∴。
(3)由(2)可知，函数f(x)的单调递减区间为(1，2)，单调递增区间为(2，+∞)，
∴当x∈(1，+∞)时，函数f(x)在x=2处取得最小值2ln2-4，
∴，
即，
∴，
∴，
，
……
，
把上述各式相加，变形得：
，
即
，
∴对任意的n＞1，n∈N*，不等式恒成立。