Question

已知函数f（x）=ax²+（b-8）x-a-ab，当x∈（-3，2）时，f（x）＞0，当x∈（-∞，-3）∪（2，+∞）时，f（x）＜0．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若不等式ax²+bx+c≤0的解集为R，求c的取值范围；
（3）当x＞-1时，求y=

f(x)-21

x+1

的最大值．

Answer 1

分析：（1）由已知中函数f（x）=ax²+（b-8）x-a-ab，当x∈（-3，2）时，f（x）＞0，当x∈（-∞，-3）∪（2，+∞）时，f（x）＜0，可得f（x）=0的两根为-3，2，由韦达定理（根与系数的关系）我们易求出a，b的值，进而得到函数的解析式；
（2）由（1）的结论，根据不等式-3x²+5x+c≤0的解集为R，可得△≤0，由此构造关于c的不等式，解不等式即可求出c的取值范围；
（3）根据（1）的结论，我们易求出y=

f(x)-2

x+1

的解析式，结合基本不等式，分析出函数的值域，即可得到其最大值．

解答：解：（1）由已知得，方程ax²+（b-8）x-a-ab=0的两个根为-3，2，
则

- b-8 a =1 - a+ab a =-6

，即

b-8=a 1+b=6

，
解得a=-3，b=5，
∴f（x）=-3x²-3x+18；
（2）由已知得，不等式-3x²+5x+c≤0的解集为R，
因为△=5²-4×（-3）×c≤0，
∴c≤-

25

12

，即c的取值范围为（-∞，-

5

12

]，
（3）y=

f(x)-21

x+1

=

-3x2-3x-3

x+1

=-3×（x+

1

x+1

）=-3×[（x+1）+

1

x+1

-1]，
因为x＞-1，（x+1）+

1

x+1

≥2，
当且仅当x+1=

1

x+1

，即x=0时取等号，
∴当x=0时，y_max=-3．

点评：本题考查的知识点是二次函数的性质，一元二次不等式的解法，基本不等式，函数的最值，其中根据函数的零点与对应方程根的关键，结合韦达定理，构造关于a，b的方程，进而求出a，b的值，是解答本题的关键．