题目内容

已知函数f（x）= $数学公式$ sin2x-sin²x；
（1）求 f（ $数学公式$ ）的值；
（2）当 x∈[0， $数学公式$ ]时，求函数f（x）的最大值．

解：（1）f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ sin $\text{[math]}$ -sin² $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =0．（4分）
（2）因为f（x）= $\text{[math]}$ sin2x-sin²x=f（x）= $\text{[math]}$ sin2x+ $\text{[math]}$ cos2x- $\text{[math]}$ =sin（2x+ $\text{[math]}$ ）- $\text{[math]}$ ．
所以当x∈[0， $\text{[math]}$ ]时， $\text{[math]}$ ≤2x+ $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ ，
所以： $\text{[math]}$ ≤sin（2x+ $\text{[math]}$ ）≤1，
所以f（x）的最大值为 $\text{[math]}$ ．（12分）
分析：（1）直接把x= $\text{[math]}$ 代入到函数解析式中即可求解
（2）利用辅助角公式对已知函数化简可得f（x）=sin（2x+ $\text{[math]}$ ）- $\text{[math]}$ ，结合正弦函数的性质及已知角的范围可求函数的最大值
点评：本题主要考查三角函数的辅助角公式的应用及正弦函数的值域（最值）的求解属基础题．

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已知函数f（x）=ax+bsinx，当x=

时，取得极小值

．
（1）求a，b的值；
（2）对任意x1，x2∈[-

]，不等式f（x₁）-f（x₂）≤m恒成立，试求实数m的取值范围；
（3）设直线l：y=g（x），曲线S：y=F（x），若直线l与曲线S同时满足下列两个条件：①直线l与曲线S相切且至少有两个切点；②对任意x∈R都有g（x）≥F（x），则称直线l与曲线S的“上夹线”．观察下图：

根据上图，试推测曲线S：y=mx-nsinx（n＞0）的“上夹线”的方程，并作适当的说明．

已知函数f（x）=x²-blnx在（1，2]是增函数，g（x）=x-b

在（0，1）为减函数．
（1）求b的值；
（2）设函数φ（x）=2ax-

是区间（0，1]上的增函数，且对于（0，1]内的任意两个变量s、t，f（s）≥?（t）恒成立，求实数a的取值范围．

已知函数f（x）=cos（ 2x+

）+sin²x．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和值域；
（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足2

，求△ABC的面积S．

（1）已知矩阵A=

a	2
1	b

有一个属于特征值1的特征向量

，
①求矩阵A；
②已知矩阵B=

1	-1
0	1

，点O（0，0），M（2，-1），N（0，2），求△OMN在矩阵AB的对应变换作用下所得到的△O'M'N'的面积．
（2）已知在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为

（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线C的极坐标方程为ρ²-4ρco sθ+3=0．
①求直线l普通方程和曲线C的直角坐标方程；
②设点P是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的取值范围．
（3）已知函数f（x）=|x-1|+|x+1|．
①求不等式f（x）≥3的解集；
②若关于x的不等式f（x）≥a²-a在R上恒成立，求实数a的取值范围．

已知函数f（x）=

+xlnx，g（x）=x³-x²-x-1．
（1）如果存在x，x∈[0，2]，使得g（x）-g（x）≥M，求满足该不等式的最大整数M；
（2）如果对任意的s，t∈[

，2]，都有f（s）≥g（t）成立，求实数a的取值范围．