Question

设函数f（x）=x³+ax²-a²x+1，g（x）=ax²-2x+1，其中实数a≠0．
（Ⅰ）若a＞0，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当函数y=f（x）与y=g（x）的图象只有一个公共点且g（x）存在最小值时，记g（x）的最小值为h（a），求h（a）的值域；
（Ⅲ）若f（x）与g（x）在区间（a，a+2）内均为增函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先对函数f（x）进行求导，令导函数大于0可求函数的增区间，令导函数小于0可求函数的减区间．
（2）令f（x）=g（x）整理可得x[x²-（a²-2）]=0，故a²-2≤0求出a的范围，再根据g（x）存在最小值必有a＞0，最后求出h（a）的值域即可．
（3）分别求出函数f（x）与g（x）的单调区间，然后令（a，a+2）为二者单调增区间的子集即可．

解答：解：（Ⅰ）∵f′(x)=3x2+2ax-a2=3(x-

a

3

)(x+a)，又a＞0，
∴当x＜-a或x＞

a

3

时，f'（x）＞0；
当-a＜x＜

a

3

时，f'（x）＜0，
∴f（x）在（-∞，-a）和(

a

3

，+∞)内是增函数，在(-a，

a

3

)内是减函数．
（Ⅱ）由题意知x³+ax²-a²x+1=ax²-2x+1，
即x[x²-（a²-2）]=0恰有一根（含重根）．∴a²-2≤0，即-

2

≤a≤

2

，
又a≠0，∴a∈[-

2

，0)∪(0，

2

]．
当a＞0时，g（x）才存在最小值，∴a∈(0，

2

]．
g（x）=a（x-

1

a

）²+1-

1

a

，
∴h(a)=1-

1

a

，a∈(0，

2

]．
h（a）≤1-

2

2

；
∴h（a）的值域为(-∞，1-

2

2

]．
（Ⅲ）当a＞0时，f（x）在（-∞，-a）和(

a

3

，+∞)内是增函数，g（x）在(

1

a

，+∞)内是增函数．
由题意得

a＞0 a≥ a 3 a≥ 1 a

，解得a≥1；
当a＜0时，f（x）在(-∞，

a

3

)和（-a，+∞）内是增函数，g（x）在(-∞，

1

a

)内是增函数．
由题意得

a＜0 a+2≤ a 3 a+2≤ 1 a

，解得a≤-3；
综上可知，实数a的取值范围为（-∞，-3]∪[1，+∞）．

点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负情况之间的关系，即当导函数小于0时原函数单调递减，当导函数大于0时原函数单调递增．