Question

函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|≤π）在一个周期内，当x=

π

6

时，y取最小值-3；当x=

2π

3

时，y最大值3．
（I）求f（x）的解析式； 
（II）求f（x）在区间[

π

2

，π]上的最值．

Answer 1

分析：（I）由函数的最值可求的A=3，在一个周期内最小值点与最大值点的距为

1

2

T=

2π

3

-

π

6

=

π

2

，T=π根据周期公式T=

2π

ω

可求ω，最后再把函数所给的点(

π

6

，-3)代入结合已知φ的范围可求φ的值，从而求出函数的解析式
（II））由x∈[

π

2

，π]可得，

π

6

≤2x-

5π

6

≤

7π

6

结合正弦函数的性质可得
当x=

2π

3

时，f（x）取最大值3，当x=

7π

6

时，f（x）取最小值-

3

2

解答：解：（I）∵在一个周期内，当x=

π

6

时，y取最小值-3；当x=

2π

3

时，y最大值3．
∴A=3，

T

2

=

2π

3

-

π

6

=

π

2

，
∴T=π，ω=2，
∴f（x）=3sin（2x+?），（3分）
由当x=

2π

3

时，y最大值3得sin(

4π

3

+φ)=1，

4π

3

+φ=2kπ+

π

2

(k∈Z)
，φ=2kπ-

5π

6

，
∵|φ|≤π，
∴φ=-

5

6

π
∴f(x)=3sin(2x-

5π

6

)．（6分）
（II）∵x∈[

π

2

，π]，
∴

π

6

≤2x-

5π

6

≤

7π

6

（8分）
∴当x=

2π

3

时，f（x）取最大值3；（10分）
当x=

7π

6

时，f（x）取最小值-

3

2

．（12分）

点评：本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定函数的解析式，一般步骤是：由函数的最值确定A的值，由函数所过的特殊点确定周期T，利用周期公式T=

2π

ω

求ω，再把函数所给的点（一般用最值点）的坐标代入求φ，从而求出函数的解析式；还考查了正弦函数的在一区间上的最值的求解．