Question

已知函数f(x)=2cos2x+cos(2x+

π

3

)-1．
（I）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（II）若锐角α满足f（α）=-

3

2

，求角α的值．

Answer 1

分析：（I）利用三角函数的二倍角公式及和角公式将f（x）化简为-

3

sin(2x-

π

3

)，利用三角函数的周期公式求出周期；令2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，求出x的范围，写出区间即得到单调递增区间；
（II）将（I）中的f（x）代入f（α）=-

3

2

，根据特殊角的三角函数值求出角．

解答：解：（I）因为函数f(x)=2cos2x+cos(2x+

π

3

)-1
=cos2x+

1

2

cos2x-

3

2

sin2x
=

3

2

cos2x-

3

2

sin2x
=-

3

sin(2x-

π

3

)
所以f（x）的最小正周期为

2π

2

=π，
令2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，
解得-

7π

12

+kπ≤x≤-

π

12

+kπ
其递增区间是[-

7π

12

+kπ，-

π

12

+kπ](k∈Z)
（II）由（I）知，
f(α)=-

3

sin(2α-

π

3

)=-

3

2

所以  sin(2α-

π

3

)=-

3

2

  
又因为α是锐角，
所以-

π

3

＜2α-

π

3

＜

2π

3

，
所以2α-

π

3

=

π

3

，
所以α=

π

3

．

点评：解决三角函数的性质问题，应该先根据三角函数的有关公式将三角函数化为只含一个角一个函数的形式，然后利用整体角处理的思想来解决，属于中档题．