Question

如图，已知椭圆C₁的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上．椭圆C₂的短轴为MN，且C₁，C₂的离心率都为e．直线l⊥MN．l与C₁交于两点，与C₂交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A、B、C、D．
（Ⅰ）e=

1

2

，求|BC|与|AD|的比值；
（Ⅱ）当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先利用离心率相同，把两椭圆方程设出来，与直线l联立求出A、B的坐标，再利用椭圆图象的对称性求出|BC|与|AD|的长，即可求|BC|与|AD|的比值；
（Ⅱ）BD∥AN，即是BO的斜率k_BO与AN的斜率k_AN相等，利用斜率相等得到关于t和a以及e的等式，再利用|t|＜a和0＜e＜1就可求出何时BD∥AN．

解答：解：（I）因为C₁，C₂的离心率相同，
故依题意可设C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1，C2：

b2y2

a4

+

x2

a2

=1，(a＞b＞0)
设直线l：x=t（|t|＜a），分别与C₁，C₂的方程联立，
求得A(t，

a

b

a2-t2

)，B(t，

b

a

a2-t2

)（4分）
当e=

1

2

，b=

3

2

a，分别用y_A，y_B表示的A，B的纵坐标，
可知|BC|：|AD|=

2|yB|

2|yA|

=

b2

a2

=

3

4

（6分）
（Ⅱ）t=0时的l不符合题意，t≠0时，
BO∥AN当且仅当BO的斜率k_BO与AN的斜率k_AN相等，
即

b a a2-t2

t

=

a b a2-t2

t-a

，
解t=-

ab2

a2-b2

=-

1-e2

e2

•a；
因为|t|＜a，又0＜e＜1，所以-1＜-

1-e2

e2

＜1，解得

2

2

＜e＜1
所以当0＜e≤

2

2

时，不存在直线l，使得BO∥AN；
当

2

2

＜e＜1时，存在直线l，使得BO∥AN．

点评：本题考查椭圆的有关知识．在第一问设方程时，充分利用离心率相同，把两椭圆方程用同两个变量设出来，减少了变量的引入，把问题变的简单化．