题目内容
【题目】已知椭圆C： 
（a＞b＞0）的短轴长为2，离心率 
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若斜率为k的直线过点M（2，0），且与椭圆C相交于A，B两点．试求k为何值时，三角形OAB是以O为直角顶点的直角三角形．
【答案】
（1）解：∵椭圆C： 
（a＞b＞0）的短轴长为2，离心率 
，
∴ 
，
解得a2=2，b2=1，
∴椭圆方程为 
=1
（2）解：由已知直线AB的斜率存在，设AB的方程为：y=k（x﹣2），
由 
，得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0，
∵斜率为k的直线过点M（2，0），且与椭圆C相交于A，B两点，
∴△=64k4﹣4（1+2k2）（8k2﹣2）＞0，
解得： 
，即k∈（﹣ 
， ），
设A（x1，y1），B（x2，y2）， 
， 
，
∵O为直角顶点，∴ 
，
∵y1y2=k（x1﹣2）k（x2﹣2），
∴ 
=0，解得k= 
，满足k2 
，∴k=
【解析】（1）由椭圆短轴长为2，离心率 ，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆方程．（2）设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），直线AB的方程为y=k（x﹣2），代入椭圆 
+y2=1中，得到关于x的一元二次方程，由判别式求出k的取值范围，和用k表示的x1+x2 ， x1x2的表达式，根据向量垂直的坐标表示的充要条件列出关于k的方程，求解即可．
练习册系列答案
相关题目
