Question

（2011•温州二模）已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₂=4，且满足2S_n=n（a_n+1）（n∈N^*）．
（1）求证：数列{a_n}是等差数列；
（2）若存在正整数n，使

n

an

≥k•2n成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据2S_n=na_n+n，当n≥2时，2S_n-1=（n-1）a_n-1+n-1，两式作差，再得到递推关系进行再作差可得数列{a_n}是等差数列；
（2）先将k分离，可知转化成k≤

n

(3n-2)•2n

存在正整数解，然后利用单调性求出不等式右侧最大值，从而求出k的取值范围．

解答：（1）证明：由题意可知2S_n=na_n+n
当n≥2时，2S_n-1=（n-1）a_n-1+n-1
相减得2a_n=na_n-（n-1）a_n-1+1
即（n-2）a_n-（n-1）a_n-1+1=0     ①
所以（n-3）a_n-1-（n-2）a_n-2+1=0    ②
由①-②得（n-2）a_n-2（n-2）a_n-1+（n-2）a_n-2=0（n≥3）
 即a_n-2a_n-1+a_n-2=0（n≥3）
所以数列{a_n}是等差数列；
（II）解：由（I）得数列{a_n}是等差数列，a_n=3n-2
由题意k≤

n

(3n-2)•2n

存在正整数解
令b_n=

n

(3n-2)•2n

＞0
因为

bn+1

bn

=

(n+1)(3n-2)

2(3n+1)n

＜1
所以{b_n}为单调递减数列，故{b_n}的最大值为b₁=

1

2

所以实数k的取值范围为k≤

1

2

点评：本题主要考查了等差数列的判定，以及数列的函数特性和数列与不等式的综合应用，同时考查了计算能力，属于中档题．