Question

已知函数f（x）=

1

3

a2x3-ax2+

2

3

，g（x）=-ax+1．
（1）曲线f（x）在x=1处的切线与直线3x-y=1平行，求a的值．
（2）求f（x）的单调区间．
（3）若a＞0，在区间（1，

1

2

]至少存在一个实数x₀，使f（x₀）＞g（x₀）成立，试求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求出f′（x），因为直线3x-y=1的斜率为3，曲线f（x）在x=1处的切线与直线3x-y=1平行，得到f′（1）=3，即可得到关于a的一元二次方程，求出方程的解即可得到a的值；
（2）当a等于0时，得到f（x）等于常数为增减性；当a不等于0时，把导函数分解因式，求出导函数为0时x的值，利用x的值讨论导函数的正负即可得到相应范围函数的单调区间；
（3）设F（x）等于f（x）-g（x），求出F′（x）判断其符号在区间（1，

1

2

]上恒大于0得到F（x）为增函数，所以F（x）的最大值为F（

1

2

），要使存在一个实数x₀，使f（x₀）＞g（x₀）成立即要F（

1

2

）大于0，代入列出关于a的不等式，求出解集即可得到a的范围．

解答：解：（1）f′（x）=a²x²-2ax
则f′（1）=3即a²-2a-3=0，（a-3）（a+1）=0
解得a=-1或a=3；

（2）当a≠0时，f′（x）=a²x（x-

2

a

）
①a＞0时，当x∈（-∞，0），f′（x）＞0；0＜x＜

2

a

，f′（x）＜0；

2

a

＜x时，f′（x）＞0
②a＜0时，当x∈（-∞，

2

a

），f′（x）＞0；

2

a

＜x＜0时，f′（x）＜0；x＞0时，f′（x）＞0
而当a=0时，f（x）=

2

3

，函数f（x）无单调性．
综上，a=0时f（x）无单调性；a＞0时，f（x）在（-∞，0）单调增，在（0，

2

a

）上单调减，（

2

a

，+∞）上单调增；
a＜0时，f（x）在（-∞，-

2

3

）单调增，在（-

2

3

，0）上单调减，（0，+∞）上单调增；

（3）令F（x）=f（x）-g（x）=

1

3

a²x³-ax²+ax-

1

3

，则F′（x）=a²x²-2ax+a=a（ax²-2x+1）=a[ax²+（1-2x）]
∵a＞0，x∈（0，

1

2

]
∴F′（x）＞0∴F（x）在（0，

1

2

]上单调递增，所以F（x）_max=F（

1

2

）
若存在x₀∈（0，

1

2

]使f（x₀）＞g（x₀）成立，只需F（x）_max＞0即F（

1

2

）＞0．
代入得

1

3

a²(

1

2

)3-a(

1

2

)2+a•

1

2

-

1

3

＞0
化简得a²+6a-8＞0，
解得a＞-3+

17

或a＜-3-

17

（舍去）
∴a的范围是（-3+

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，+∞）．

点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导函数的正负判断函数的增减性及根据函数的增减性得到函数的最值，掌握不等式恒成立时所满足的条件，是一道比较难的题．