Question

已知函数f(x)(x∈R,x≠)满足ax·f(x)=2bx+f(x),a≠0,f(1)=1,且使f(x)=2x成立的实数x只有一个.?

(1)求函数f(x)的表达式;?

(2)若数列{a_n}满足a₁=,a_n+1 =f(a_n),b_n=,n∈N^*,证明数列{b_n}是等比数列,并求出{b_n}的通项公式;?

(3)在(2)的条件下,证明a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n＜1-,n∈N^*.

Answer 1

(1)解析:由ax·f(x)=2bx+f(x),x≠,a≠0,得f(x)=.?

由f(1)=1,得a=2b+1.?

由f(x)=2x只有一解,即,也就是2ax²-2(1+b)x=0(a≠0)只有一解,?

∴4(1+b)²-4×2a×0=0.∴b=-1.?

∴a=-1.故f(x)=.?

(2)解析:∵a₁=,a_n+1=f(a_n),?

∴a₂=f(a₁)=f()=,a₃=f(a₂)=f()=,a₄=f(a₃)=f()=.?

猜想,a_n=(n∈N^*).?

下面用数学归纳法证明:?

1°当n=1时,左边=a₁=,右边=,?

∴命题成立.?

2°假设n=k时,命题成立,即a_k=;?

当n=k+1时,a_k+1=f(a_k)=?

=,?

∴当n=k+1时,命题成立.?

由1°、2°可得,当n∈N^*时,有a_n=.?

∵b_n= -1= -1= (n∈N^*),∴ (n∈N^*).?

∴{b_n}是首项为,公比为的等比数列,其通项公式为b_n=.?

(3)证明:∵a_nb_n=a_n(-1)=1-a_n?

=1-,?

∴a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=

(n∈N^*).