Question

（本小题满分13分）

如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，PA＝AB＝4， G为PD中点，E点在AB上，平面PEC⊥平面PDC.

（Ⅰ）求证：AG⊥平面PCD；

（Ⅱ）求证：AG∥平面PEC；

（Ⅲ）求点G到平面PEC的距离.

Answer 1

（Ⅰ）证明：∵CD⊥AD，CD⊥PA　　

∴CD⊥平面PAD　 ∴CD⊥AG，

又PD⊥AG　　

∴AG⊥平面PCD　　　　　 …………4分

（Ⅱ）证明：作EF⊥PC于F，因面PEC⊥面PCD

∴EF⊥平面PCD，又由（Ⅰ）知AG⊥平面PCD

∴EF∥AG，又AG 面PEC，EF 面PEC，

∴AG∥平面PEC　　 ………………7分

（Ⅲ）由AG∥平面PEC知A、G两点到平面PEC的距离相等

由（Ⅱ）知A、E、F、G四点共面，又AE∥CD　 ∴ AE∥平面PCD

∴ AE∥GF，∴ 四边形AEFG为平行四边形，∴ AE＝GF　　 ……………8分

PA＝AB＝4， G为PD中点，FG 　 CD

∴ FG＝2　　　 ∴ AE＝FG＝2　　　　　　　　　 ………………………9分

∴ 　　　　　　　 ………………………10分

又EF⊥PC，EF＝AG

∴ 　　　　………………………11分

又 ，∴，即，∴

∴ G点到平面PEC的距离为.　　　　　　 ………………………13分