Question

如图，正方形ABED、直角梯形EFGD、直角梯形ADGC所在平面两两垂直，AC∥DG∥EF．且DA=DE=DG=2，AC=EF=1．
（Ⅰ）求证：BF∥CG；
（Ⅱ）求三棱锥E-ABF的高．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设M是DG的中点，由AC∥DG，且AC=

1

2

DG，得AC∥MG，AC=MG，四边形AMGC为平行四边形，得AM∥CG，同理可证四边形ABFM为平行四边形，得BF∥AM，AM∥CG，即可证得结论；
（Ⅱ）由V_E-ABF=V_A-BEF可求得三棱锥E-ABF的高为

2 5

5

．

解答：（1）证明：取DG的中点M，连接AM、FM
∵EF∥DG，EF=

1

2

DG
∴EF∥DM，EF=DM
∴四边形EFMD为平行四边形
∴FM∥ED，FM=ED
∵四边形ABED为正方形
∴AB∥FM，AB=FM
∴四边形ABFM为平行四边形
∴AM∥BF
∵四边形ACGM为平行四边形
∴AM∥CG
∴BF∥CG
（2）设三棱锥E-ABF的高为h
∵正方形ABED、直角梯形EFGD、直角梯形ADGC所在平面两两垂直，平面ABED∩平面ACGD=AD
AB⊥AD，GD⊥AD
∴AB⊥平面ACGD，GD⊥平面ABED
∴AB⊥AC，GD⊥平面ACED
∵EF∥AC
∴AB⊥EF，EF⊥平面ABED
∵AB⊥BE，BE?平面BEF，EF?平面BEF，EF∩BE=E
∴AB⊥平面BEF，△ABF为直角三角形
BF=

EB2+EF2

=

22+12

=

5

由V_E-ABF=V_A-BEF得

1

3

×S△ABF×h=

1

3

×S△BEF×AB
∴

1

3

×(

1

2

×AB×BF)×h=

1

3

×(

1

2

×BE×EF)×AB
∴

1

3

×(

1

2

×2×

5

)×h=

1

3

×(

1

2

×2×1)×2
∴h=

2 5

5

．
故三棱锥E-ABF的高

2 5

5

．

点评：本题主要考查了利用公理4证明空间两条直线平行、棱锥高的计算．对于三棱锥高棱锥高的计算常常是利用等体积法．