题目内容

证明二次函数f(x)=ax2+bx+c(a＜0)在区间（-∞，-）上是增函数.

证明：设x1、x2∈(-∞,-)，且x1＜x,则f(x1)-f(x2)=ax12+bx1-ax22-bx2=(x1-x2)［a(x1+x2)+b］.

    ∵x1,x2∈(-∞,-),

   ∴x1+x2＜-，∴a(x1+x2)＞-b,

    ∴a(x1+x2)+b＞0.

    ∵x1-x2＜0，

    ∴f(x1)-f(x2)＜0,即f(x1)＜f(x2).

    ∴y=ax2+bx+c在（-∞,-］上单调递增.

练习册系列答案
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证明二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的两个零点在点（m，0）的两侧的充要条件是af（m）＜0．
（2014•长宁区一模）设二次函数f(x)=(k-4)x2+kx
 (k∈R)
，对任意实数x，有f（x）≤6x+2恒成立；数列{an}满足an+1=f（an）．
（1）求函数f（x）的解析式和值域；
（2）证明：当an∈(0，
1
2
)时，数列{an}在该区间上是递增数列；
（3）已知a1=
1
3
，是否存在非零整数λ，使得对任意n∈N*，都有log3(
1
1
2
-a1
)+log3(
1
1
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-a2
)+…+log3(
1
1
2
-an
)＞-1+（-1）n-12λ+nlog32恒成立，若存在，求之；若不存在，说明理由．

二次函数f(x)=

（I）若方程f(x)=0无实数根，求证：b>0；

（II）若方程f(x)=0有两实数根，且两实根是相邻的两个整数，求证：f(－a)=；

（III）若方程f(x)=0有两个非整数实根，且这两实数根在相邻两整数之间，试证明存在整数k，使得.

二次函数f(x)=ax2+x+1(a＞0)的图象与x轴的两个不同的交点的横坐标分别为x1、x2。

（1）证明：(1+x1)(1+x2)=1；

（2）证明：x1＜－1，x2＜－1；

（3）若函数y=xf(x)在区间（－，－4）上单调递增，试求a的取值范围。

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