Question

已知函数f（x）=ln（x+2）-a（x+1）（a＞0）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若x＞-2，证明：1-

1

x+2

≤ln（x+2）≤x+1．

Answer 1

（1）函数f（x）的定义域为（-2，+∞），
f’（x）=

1

x+2

-a=

-ax+1-2a

x+2

=

-a(x- 1-2a a )

x+2

，
∵a＞0，

1-2a

a

=

1

a

-2＞-2，
令f′（x）＞0，得-2＜x＜

1-2a

a

，
令f′（x）＜0，得x＞

1-2a

a

．
所以函数f（x）的单调递增区间为（-2，

1-2a

a

），单调递减区间为（

1-2a

a

，+∞）．
（2）由（1）知，a=1时，f（x）=ln（x+2）-（x+1），
此时f（x）的单调递增区间为（-2，-1），
单调递减区间为（-1，+∞）．
所以，x＞2时，g′(x)=

1

x+2

-

1

(x+2)2

=

x+1

(x+2)2

，
∴当x∈（-2，-1）时，g′（x）＜0，
当x∈（-1，+∞）时，g′（x）＞0．
∴当x＞-2时，g（x）≥g（-1），
即ln（x+2）+

1

x+2

-1≥0，
∴ln（x+2）≥1-

1

x+2

．
所以，当x＞-2时，1-

1

x+2

≤ln（x+2）≤x+1．