Question

已知函数f（x）=ax³-3x²+1-

3

a

（a∈R且a≠0），试求函数f（x）的极大值与极小值．

Answer 1

分析：先求f′（x）=0的值，发现需要讨论a的正负，分别判定在f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极大值点与极小值点，求出极值．

解答：解：由题设知a≠0，f′（x）=3ax²-6x=3ax（x-

2

a

），令f′（x）=0得x=0或x=

2

a

．
当a＞0时，随x的变化，f′（x）与f（x）的变化如下表：

∴f（x）_极大值=f（0）=1-

3

a

，
f（x）_极小值=f（

2

a

）=-

4

a2

-

3

a

+1．
当a＜0时，随x的变化，f′（x）与f（x）的变化如下表：

∴f（x）_极大值=f（0）=1-

3

a

，
f（x）_极小值=f（

2

a

）=-

4

a2

-

3

a

+1．
总之，当a＞0时，f（x）_极大值=f（0）=1-

3

a

，
f（x）_极小值=f（

2

a

）=-

4

a2

-

3

a

+1；
当a＜0时，f（x）_极大值=f（0）=1-

3

a

，
f（x）_极小值=f（

2

a

）=-

4

a2

-

3

a

+1．

点评：本小题主要考查函数的导数的极值，考查利用数学知识分析问题、解决问题的能力，属于基础题．