题目内容

设x1、x2是函数f(x)=x2-a2x(a＞0)的两个极值点,且|x1|+|x2|=2.

(1)求a的取值范围;

(2)求证:|b|≤.

答案：(1)解:易得f′(x)=ax2+bx-a2,

∵x1、x2是f(x)的两个极值点,∴x1、x2是f′(x)=0的两个实根.又a＞0,∴x1x2=-a＜0,x1+x2=.

∴|x1|+|x2|=|x1-x2|=.∵|x1|+|x2|=2,∴+4a=4,即b2=4a2-4a3=4a2(1-a).∵b2≥0,∴0＜a≤1.

(2)证明:设b2=g(a)=4a2-4a3,则g′(a)=8a-12a2=4a(2-3a).由g′(a)＞0,得0＜a＜;由g′(a)＜0,得＜a≤1.∴g(a)在(0,)上单调递增,在(,1)上单调递减.

∴［g(a)］max=g()=.∴|b|.

练习册系列答案
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设x1，x2是函数f(x)=
a
3
x3+
b
2
x2-a2x(a＞0)的两个极值点，且|x1|+|x2|=2．
（1）证明：|b|≤
4
3
9
．
（2）若g（x）=f'（x）-2a（x-x1），证明当x1＜x＜2时，且x1＜0时，|g（x）|≤4a．
设x1，x2是函数f（x）=
a
3
x3+
b
2
x2-a2x（a＞0）的两个极值点，且|x1|+|x2|=2．
（1）求a的取值范围；
（2）求证：|b|≤
4
3
9
．
设函数f（x）=x2+bx+c，且f（1）=-
12
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（1）求证：函数f（x）有两个零点．
（2）设x1、x2是函数f（x）的两个零点，求|x1-x2|的取值范围．
（3）求证：函数f（x）在区间（0，2）内至少有一个零点．
已知函数f（x）=ax2+bx+c，且f(1)=-
a
2
，3a＞2c＞2b．
（1）求证：a＞0且-3＜
b
a
＜-
3
4
；
（2）求证：函数f（x）在区间（0，2）内至少有一个零点；
（3）设x1，x2是函数f（x）的两个零点，求|x1-x2|的范围．
设x1，x2是函数f（x）=x3-2ax2+a2x的两个极值点，若x1＜2＜x2，则实数a的取值范围是
 
．

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